如圖，邊長為1的正三角形
所在平面與直角梯形
所在平面垂直，且
，
，
，
，
、
分別是線段
、
的中點．
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
（1）詳見解析；（2）
．
解析試題分析：（1）由已知中F為CD的中點，易判斷四邊形ABCD為平行四邊形，進而AF∥BC，同時EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中點O，連接SO，以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，分別求出平面SAC與平面ACF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．
（1）
分別是
的中點，
．又
，所以
．
，……2分
四邊形
是平行四邊形．
．
是
的中點，
．……3分
又
，
，平面
平面
……5分
（2）取
的中點
，連接
，則在正
中，
，又
平面
平面
，
平面
平面，
平面．…6分
于是可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
．
則有
，
，
，
，
，
．…7分
設(shè)平面
的法向量為
，由
．
取
，得
．……9分平面
的法向量為
．10分
…11分而二面角
的大小為鈍角，二面角
的余弦值為 ．
考點：1．用空間向量求平面間的夾角；2．平面與平面平行的判定．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在直三棱柱
中，
，
。M、N分別是AC和BB1的中點。
（1）求二面角
的大小。
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面
⊥平面
，
并求出
的長度。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在△ABC中，∠ABC=
，∠BAC
，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．
（1）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）設(shè)E為BC的中點，求
與
夾角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，底面
是邊長為2的菱形，且
，以
與
為底面分別作相同的正三棱錐
與
，且
.
（1）求證：
平面；
（2）求平面
與平面
所成銳角二面角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且
底面ABCD，
，E是PA的中點.
（1）求證：平面
平面EBD；
（2）若PA=AB=2，直線PB與平面EBD所成角的正弦值為
，求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝
，點M，N分別在線段PA和BD上，BN＝
BD．
（1）若PM＝PA，求證：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小為
，求線段MN的長度．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點．
(1)求二面角D1-AE-C的大小；
(2)求證：直線BF∥平面AD1E.
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中，側(cè)棱
平面
，
為等腰直角三角形，
，且
分別是
的中點.
平面
；
的余弦值.
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