Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值；

（2）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1），分，，三種情況推理即可；

（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.

（1）由，得.

當(dāng)時(shí)，方程的，因此在區(qū)間

上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且滿足，

所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間

上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間

上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；

綜上可知：若時(shí)，不等式恒成立，的最小值為.

（2）由第（1）知：若時(shí)，.

若，則，

即成立.

將換成，得成立，即

，

以此類推，得，

，

上述各式相加，得，

又，所以.