Question

【題目】已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上，且滿足，其中.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)不過原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于恒過定點(diǎn)的直線對(duì)稱.求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義判斷出點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡方程.

（2）設(shè)出直線的方程為、直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和點(diǎn)的軌跡方程，消去化簡(jiǎn)并令其判別式大于零.將線段中點(diǎn)代入直線的方程，求得的關(guān)系式，并由此求得的取值范圍.求得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，求得點(diǎn)到直線的距離，由此求得三角形面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得三角形面積的取值范圍.

（1）由題意是線段的垂直平分線，

點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

，故點(diǎn)的軌跡方程是

（2）設(shè)直線的方程為，由題意知，則直線的方程為.

聯(lián)立消去，得

①

將線段的中點(diǎn)坐標(biāo)代入，得②

由①②得或，

令，則.轉(zhuǎn)化為，也即.轉(zhuǎn)化為.則，且到直線的距離為.

設(shè)的面積為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)滿足

故面積的取值范圍為.