Question

【題目】設函數(shù)（其中a∈R）．

（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由．

（2）若，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調性，并用函數(shù)單調性定義給出證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的定義域，分a=0與a≠0兩種情況討論函數(shù)的奇偶性，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，設1≤x1＜x2，由作差法分析可得結論．

（1）函數(shù)，其定義域為{x|x≠0}，

當a=0時，f（x）=，有f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；

當a≠0時，，f（-x）=ax2-，

有f（x）≠f（-x）且f（-x）≠-f（x），

則函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)；

（2）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；

證明：設1≤x1＜x2，

則f（x1）-f（x2）=（ax12+）-（ax22+）=（x1-x2）[a（x1+x2）]，

又由1≤x1＜x2，則（x1-x2）＜0，[a（x1+x2）＞1，＜1，則有f（x1）-f（x2）＜0，

則函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．