Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)（）與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方）.

（1）若，求的面積；

（2）是否存在實(shí)數(shù)使得以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在實(shí)數(shù)，使得以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

【解析】

（1）由橢圓方程求得，得，由直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立可解得交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)然這里只要得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得三角形面積；

（2）這類(lèi)問(wèn)題，都是假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有.設(shè)，，從而有，把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立消元后可得，代入，求得值，說(shuō)明存在，求不出值說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，不存在。

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)?/span>，，，所以，，，

聯(lián)立化簡(jiǎn)得，解得或，又點(diǎn)在軸的上方，所以，所以，

所以的面積為.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有.

設(shè)，，

聯(lián)立消去得，（*）

則，.

由，所以，即，

整理得，

所以，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)（*）中，

所以存在實(shí)數(shù)，使得以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).