Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對任意時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，為常量函數(shù)，不存在單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）．

【解析】

（1）要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需求導(dǎo)數(shù)，對進(jìn)行討論；

（2）由，得， 令，計(jì)算，然后分，，三種情況討論即可.

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，令，得；

令，得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，為常量函數(shù)，不存在單調(diào)性；

當(dāng)時(shí)，令，得；

令，得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由，

得，

得，

得，

得，

令，

則．

由題意知，，則有，所以．

①若，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

而，不滿足；

②若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

故在上的最小值為．

由題意得，

解得，所以；

③若，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，

故時(shí)，恒成立．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是