Question

【題目】設(shè)集合是的兩個(gè)非空子集，且滿足集合中的最大數(shù)小于集合中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(duì)的個(gè)數(shù)為.

（1）求的值；

（2）求的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)具體數(shù)值，結(jié)合新定義，列舉滿足條件的數(shù)對(duì)：當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)， ，所以，當(dāng)時(shí)，即，若，則，或，或；

若或，則；所以.（Ⅱ）由定義知，A,B無共同元素，分別在兩部分取相應(yīng)子集：當(dāng)集合中的最大元素為“”時(shí)，集合的其余元素可在中任取若干個(gè)（包含不取），所以集合共有種情況，此時(shí)，集合的元素只能在中任取若干個(gè)（至少取1個(gè)），所以集合共有種情況，集合對(duì)共有對(duì)，再求和

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)， ，所以， 2分

當(dāng)時(shí)，即，若，則，或，或；

若或，則；所以. 4分

（2）當(dāng)集合中的最大元素為“”時(shí)，集合的其余元素可在中任取若干個(gè)（包含不�。�，所以集合共有種情況， 6分

此時(shí)，集合的元素只能在中任取若干個(gè)（至少取1個(gè)），所以集合共有種情況，

所以，當(dāng)集合中的最大元素為“”時(shí)，

集合對(duì)共有對(duì)， 8分

當(dāng)依次取時(shí)，可分別得到集合對(duì)的個(gè)數(shù)，

求和可得. 10分