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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知函數.

          1)若曲線與直線相切,求實數的值;

          2)記,求上的最大值;

          3)當時,試比較的大小.

          【答案】(1);(2)當時, ;當時, ;(3.

          【解析】試題分析:(1)研究函數的切線主要是利用切點作為突破口求解;(2)通過討論函數在定義域內的單調性確定最值,要注意對字母m的討論;(3)比較兩個函數的大小主要是轉化為判斷兩個函數的差函數的符號,然后轉化為研究差函數的單調性研究其最值.

          試題解析:(1)設曲線相切于點,

          ,知,解得,

          又可求得點,所以代入,得.

          (2)因為,所以.

          ,即時, ,此時上單調遞增,

          所以

          ,當時, 單調遞減,

          時, 單調遞增, .

          (i)當,即時, ;

          (ii)當,即時, ;

          ,即時, ,此時上單調遞減,

          所以.

          綜上,當時,

          時, .

          (3)當時, ,

          時,顯然;

          時, ,

          記函數,

          ,可知上單調遞增,又由知, 上有唯一實根,且,則,即(*),

          時, 單調遞減;當時, 單調遞增,

          所以,

          結合(*)式,知,

          所以,

          ,即,所以.

          綜上, .

          練習冊系列答案
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          (Ⅱ)在曲線上求一點,使點到直線的距離最大,并求出此最大值.

          [選修 4-5]不等式選講

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