Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是菱形，且．

證明：；

求平面與平面所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，BE，BD，推導(dǎo)出，，從而平面PBE，由此能證明．

，EB，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面PBC的一個法向量1，，利用向量法即可求出平面PAD與平面PBC所成二面角的大小．

證明：取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE， BE，BD，

四邊形ABCD是菱形，，

是等邊三角形，，

同理，得，

又，平面PBE，平面PBE，

平面PBE，

又平面PBE，．

平面平面ABCD，

由可知EA，EB，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由題意得，

則0，，，，0，，

，，，

設(shè)平面PBC的一個法向量y，，

由，取，得1，，

由得是平面PAD的一個法向量，

，，，

平面PAD與平面PBC所成二面角的大小為．