Question

【題目】已知拋物線：，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)且與相切的直線為，過(guò)且與相切的直線為.當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí)，求的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題設(shè)，.

（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到則，再由，

所以，代入求得，即可判定直線過(guò)定點(diǎn).

（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用，求得，

得到韋達(dá)定理，在利用斜率公式，求得直線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程；

解法二：由，則過(guò)且與相切的直線的斜率為，的斜率為，轉(zhuǎn)化為方程的兩個(gè)實(shí)根，求得的值，進(jìn)而求解直線的方程；

解法三：由，則過(guò)且與相切的直線的斜率為，同理，的斜率為.

得到切線，的方程，代入點(diǎn)，得，，即可得到直線的方程.

試題解析：

設(shè)，.

（Ⅰ）解：顯然直線的斜率存在，設(shè)為，直線的方程為.由題意，.

由，得.

由題意，該方程的判別式，即.

則，.

因?yàn)?/span>，所以，所以，

即，即 .

所以.

所以.解得（舍去），或.

當(dāng)時(shí)，，滿足式.

所以直線的方程為.直線過(guò)定點(diǎn).

（Ⅱ）解法一：過(guò)點(diǎn)且與：相切的直線的斜率必存在，設(shè)其斜率為，則其方程為，即.

由消去并整理得.

由判別式，解得.

不妨設(shè)的斜率，則的斜率.

由韋達(dá)定理，得，即.

.所以.

同理可得.

直線的方程為 ，

即直線的方程為.

解法二：，所以過(guò)且與相切的直線的斜率為.

同理，的斜率為.

：，即：.同理：.

因?yàn)?/span>與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組的解，

所以，且.

所以方程，即的兩個(gè)實(shí)根是，.

由，解得，.

又點(diǎn)，在：上，可得，.

直線的方程為 ，

即直線的方程為.

解法三：，所以過(guò)且與相切的直線的斜率為.同理，的斜率為.

所以，切線：，即.

又是拋物線上的點(diǎn)，所以，即.

故切線的方程為.同理切線的方程為.

又切線與切線均過(guò)點(diǎn)，故，.

所以切點(diǎn)、的坐標(biāo)適合方程.所以的方程為.