Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為且過點(diǎn)P（,1）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點(diǎn)M（3,0）的直線l與橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)P和Q,若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P',判斷直線P'Q是否經(jīng)過定點(diǎn),如果經(jīng)過,求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過,說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）直線P'Q過x軸上定點(diǎn)．

【解析】

（1）利用已知條件列出方程組,求出a,b即可得到橢圓方程．

（2）分析當(dāng)斜率為時可知定點(diǎn)若存在則必在x軸上,設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo),再設(shè)直線方程與P、Q坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合三點(diǎn)共線則任意兩點(diǎn)的斜率相等列式,進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解：（1）由題意,解得,

故橢圓C的方程為．

（2）顯然直線的斜率存在,且當(dāng)斜率為0時, 直線P'Q為x軸.

故定點(diǎn)若存在則必在x軸上,設(shè)定點(diǎn)為.

故設(shè),．

將直線與橢圓的方程聯(lián)立得：,

消去,整理得．

由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得：,．

∵點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P',則P'（x1,﹣y1）,且三點(diǎn)共線

∴,即.

即,

整理對,代入韋達(dá)定理有,即恒成立.解得.

∴直線P'Q過x軸上定點(diǎn)．