【題目】如圖，在四棱錐
中，
、
、
兩兩垂直，
，
，
，
為線段
上一點（端點除外）.
（1）若異面直線
、所成角的余弦值為
，求
的長；
（2）求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）以
、
、
所在直線分別為
軸、
軸、
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設
，
，利用空間向量法結合異面直線
、所成角的余弦值為
可得出關于
的方程，解出的值，即可求得
的長；
（2）求出平面
和平面
的法向量，利用空間向量法可求得二面角
的平面角的余弦值.
（1）因為、、兩兩垂直，所以以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則由
，
，
得
，
，
，
，
.
設
，其中
，
所以
，
因為直線、所成角的余弦值為，
所以
，
解得
，所以
，故的長為；
（2）由（1）知
，
，
，
.
設平面
的一個法向量為
.由
，得
.
取
，則
，所以平面的一個法向量為
.
設平面
的一個法向量為
，由
，得
，
取
，則
，
，所以平面的一個法向量為
.
因為
，
由圖形可知，二面角的平面角為鈍角，其余弦值為.
通城學典默寫能手系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
1（a＞b＞0）,橢圓上的點到焦點的最小距離為
且過點P（
,1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（3,0）的直線l與橢圓C有兩個不同的交點P和Q,若點P關于x軸的對稱點為P',判斷直線P'Q是否經(jīng)過定點,如果經(jīng)過,求出該定點坐標；如果不經(jīng)過,說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2019年北京世園會的吉祥物“小萌芽、小萌花”，是一對代表著生命與希望、勤勞與美好、活潑可愛的園藝小兄妹，造型創(chuàng)意來自東方文化中百子圖的“吉祥娃娃”，通過頭飾、道具、服裝創(chuàng)意的巧妙組合，被賦予了普及園藝知識、傳播綠色理念的特殊使命.現(xiàn)將三張分別印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”這三個圖案的卡片（卡片的形狀和大小相同，質(zhì)地也相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回的取出兩張卡片，則一張為小萌芽，一張為小萌花的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】盒中有形狀、大小都相同的2個紅色球和3個黃色球，從中取出一個球，觀察顏色后放回并往盒中加入同色球4個，再從盒中取出一個球，則此時取出黃色球的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且以橢圓上的點和長軸兩端點為頂點的三角形的面積的最大值為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）經(jīng)過定點
的直線
交橢圓于不同的兩點
、
，點關于
軸的對稱點為
，試證明：直線
與軸的交點
為一個定點，且
（
為原點）．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當?shù)氐牧曀资寝r(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農(nóng)歷十二月底進行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位:箱)在
的客戶稱為“熟客”,并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表:
采購數(shù)x |
|
|
|
|
|
客戶數(shù) | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖,并估計采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù);
(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的
,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);
(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調(diào)查,決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷,若不在網(wǎng)上出售魚卷,則按去年的價格出售,每箱利潤為20元,預計銷售量與去年持平;若在網(wǎng)上出售魚卷,則需把每箱售價下調(diào)2至5元,且每下調(diào)m元(
)銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若數(shù)列
對任意連續(xù)三項
，均有
，則稱該數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.
（1）判斷下列兩個數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：
①等差數(shù)列：
；
②等比數(shù)列：
；
（2）若數(shù)列滿足對任何正整數(shù)
，均有
.證明：數(shù)列是跳躍數(shù)列的充分必要條件是
.
（3）跳躍數(shù)列滿足對任意正整數(shù)均有
，求首項
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知過點
的直線l：
與拋物線E：
（
）交于B，C兩點，且A為線段
的中點.
（1）求拋物線E的方程；
（2）已知直線
：
與直線l平行，過直線上任意一點P作拋物線E的兩條切線，切點分別為M，N，是否存在這樣的實數(shù)m，使得直線
恒過定點A？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
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