【題目】已知函數(shù).
(1)若,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:(i);
(ii)對(duì)任意,
對(duì)
恒成立.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
,
的單調(diào)遞減區(qū)間為
. (2)(i)證明見解析(ii)證明見解析
【解析】
(1)將代入函數(shù)解析式,并求得導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷
的單調(diào)區(qū)間;
(2)(i)構(gòu)造函數(shù)并求得
,利用
的單調(diào)性求得最大值,即可證明不等式成立.;(ii)由(i)可知將不等式變形可得
成立,構(gòu)造函數(shù)
,因式分解后解一元二次不等式即可證明
對(duì)
恒成立.
(1)若,
(
),
令,得
或
, 則
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
.
令,得
,則
的單調(diào)遞減區(qū)間為
.
(2)證明:(i)設(shè),
則(
),
令,得
;
令,得
.
故,
從而,即
.
(ii)函數(shù)
由(i)可知
即,所以
,當(dāng)
時(shí)取等號(hào);
所以當(dāng)時(shí),則
若,令
則,
當(dāng)時(shí),
.
則當(dāng)時(shí),
,
故對(duì)任意,
對(duì)
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎,以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大,表示網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多,對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.下圖是2017年9月到2018年2月這半年中,某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢(shì)圖.
根據(jù)該走勢(shì)圖,下列結(jié)論正確的是( )
A. 這半年中,網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化
B. 這半年中,網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱
C. 從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
底面
,
,
為線段
的中點(diǎn),
為線段
上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:平面平面
.
(2)試確定點(diǎn)的位置,使平面
與平面
所成的銳二面角為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】皮埃爾·德·費(fèi)馬,法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家,被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”,對(duì)數(shù)學(xué)界做出了重大貢獻(xiàn),其中在1636年發(fā)現(xiàn)了:若是質(zhì)數(shù),且
互質(zhì),那么
的
次方除以
的余數(shù)恒等于1,后來人們稱該定理為費(fèi)馬小定理.依此定理若在數(shù)集
中任取兩個(gè)數(shù),其中一個(gè)作為
,另一個(gè)作為
,則所取兩個(gè)數(shù)不符合費(fèi)馬小定理的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正四棱錐中,已知異面直線
與
所成的角為
,給出下面三個(gè)命題:
:若
,則此四棱錐的側(cè)面積為
;
:若
分別為
的中點(diǎn),則
平面
;
:若
都在球
的表面上,則球
的表面積是四邊形
面積的
倍.
在下列命題中,為真命題的是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)開設(shè)了豐富多彩的校本課程,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)班隨機(jī)抽取了5名學(xué)生校本課程的學(xué)分,統(tǒng)計(jì)如下表.
甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分別表示甲、乙兩班抽取的5名學(xué)生學(xué)分的方差,計(jì)算兩個(gè)班學(xué)分的方差.得
______,并由此可判斷成績(jī)更穩(wěn)定的班級(jí)是______班.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
,過原點(diǎn)
作射線
交橢圓于
,平行四邊形
的頂點(diǎn)
,
在橢圓上.
(1)若射線的斜率為
,求直線
的斜率;
(2)求證:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(
為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),且A,B均異于原點(diǎn)O,且|AB|=4
,求α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式
在
上恒成立,且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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