Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：（i）；

（ii）對(duì)任意，對(duì)恒成立．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）（i）證明見(jiàn)解析（ii）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式，并求得導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）構(gòu)造函數(shù)并求得，利用的單調(diào)性求得最大值，即可證明不等式成立.；（ii）由（i）可知將不等式變形可得成立，構(gòu)造函數(shù)，因式分解后解一元二次不等式即可證明對(duì)恒成立．

（1）若，（），

令，得或， 則的單調(diào)遞增區(qū)間為，.

令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）證明：（i）設(shè)，

則（），

令，得；

令，得.

故，

從而，即.

（ii）函數(shù)

由（i）可知

即，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

所以當(dāng)時(shí)，則

若，令

則，

當(dāng)時(shí)，.

則當(dāng)時(shí)，，

故對(duì)任意，對(duì)恒成立.