Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)．

（1）求證：平面平面．

（2）試確定點(diǎn)的位置，使平面與平面所成的銳二面角為．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）點(diǎn)F為BC中點(diǎn).

【解析】

(1)利用直線與平面垂直的性質(zhì)、判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明即可.(2)找建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用數(shù)量積求出法向量間夾角，進(jìn)而得到二面角的余弦值。

（1）因?yàn)?/span>底面，平面，

所以.

因?yàn)?/span>為正方形，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，

所以.

因?yàn)?/span>，為線段的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以平面

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）

因?yàn)?/span>底面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長為2，則，

所以

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為所以

設(shè)為平面的法向量，

則所以

取，則.

設(shè)為平面的法向量，

則所以

取，則.

因?yàn)槠矫?/span>與平面所成的銳二面角為，

所以，

解得，

故當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為.