Question

（2011•廣東三模）已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在給定的坐標(biāo)系內(nèi)，用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式將函數(shù)化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求其最小正周期，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)求其最大值
（2）先將內(nèi)層函數(shù)ωx+φ看作整體，取正弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)橫坐標(biāo)值，列出函數(shù)取值表，再依表描點(diǎn)，用平滑的曲線將其連接即可得函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象

解答：解：（1）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1=sin2x-cos2x=

2

（sin2xcos

π

4

-sin

π

4

cosx）
=

2

sin(2x-

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
當(dāng)2x-

π

4

=2kπ+

π

2

 （k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值為

2

．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；最大值為

2

（2）列表：

函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖：

點(diǎn)評(píng)：本題考察了將三角函數(shù)式通過三角變換公式化為y=Asin（ωx+φ）的形式的技巧，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)圖象的步驟