Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=3ⁿ•

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：

分析：（Ⅰ）將na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得

an+1

n+1

=

an

n

+1，由等差數(shù)列的定義得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b_n=3ⁿ•

an

=n•3ⁿ，利用錯位相減求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 證明（Ⅰ）∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴

an+1

n+1

=

an

n

+1，
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，
∴數(shù)列{

an

n

}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

an

n

=1+(n-1)•1=n，
∴an=n2，
b_n=3ⁿ•

an

=n•3ⁿ，
∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)•3^n-1+n•3ⁿ①
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②
①-②得-2Sn=3+32+33+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3-3n+1

1-3

-n•3n+1
=

1-2n

2

•3n+1-

3

2

∴Sn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

點評：本題考查利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；考查數(shù)列求和的方法：錯位相減法．求和的關(guān)鍵是求出通項選方法．