Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在三個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍，并證明:.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2），證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.

（2）先求得的導(dǎo)函數(shù)，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且都不是.對(duì)分成兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和零點(diǎn)，由此求得的取值范圍. 由上述分析可得，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而證得.

(1)

.

令，

得，得，

在上遞減，在上遞增.

即，

解得，解得，

的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

(2)，

有三個(gè)極值點(diǎn)，

方程有兩個(gè)不等根，且都不是，

令，

時(shí)，單調(diào)遞增，至多有一根，

解得，解得.

在上遞減，在上遞增，

此時(shí)，，，時(shí).

時(shí)，有三個(gè)根，且，

由得，由得，

下面證明:，可變形為

令，

，在上遞增，

，