Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求證：當(dāng)時，；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）時，求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時，；

（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，可求出與，然后分、和三種情況討論，使得在上單調(diào)遞減所滿足的條件，可求出實數(shù)的取值范圍.

（1）依題意，定義域為，

.

令，則.

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時，.

（2）設(shè)，則.

易知當(dāng)時，，即，故在上單調(diào)遞增.

所以，.

①若，則在上，，所以.

所以.

令.

在上，要使單調(diào)遞減，則，從而.

因為，所以在上單調(diào)遞減.

所以，所以.

②若，即，則在上，，

所以，由①可知.

所以當(dāng)時，，

從而，所以在上單調(diào)遞減.

③若，則存在，使得，從而.

而，，從而在區(qū)間上不單調(diào)遞減.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.