Question

（2011•西城區(qū)二模）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

n-λ

n+1

an，其中λ∈R，n=1，2，…．給出下列命題：
①?λ∈R，對于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，對于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，當(dāng)i＞m（i∈N^*）時(shí)總有a_i＜0．
其中正確的命題是

①③

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①：當(dāng)λ≤0時(shí)，

n-λ

n+1

＞0，a1＞0，a_n＞0，從而可得
②：由ai•ai+1=

i-λ

i+1

a

2 i

＜0可得λ＞i，從而可得
③：設(shè)λ=3.1，a2=

1-λ

2

a1＜0，a3=

2-λ

3

a2＞0，a4=

3-λ

4

a3＜0，
當(dāng)i＞4時(shí)，

i-λ

5

＞0，從而有a₅＜0，a₆＜0，…a_i＜0，，從而可得

解答：解：①：當(dāng)λ≤0時(shí)，

n-λ

n+1

＞0，a1＞0，a_n＞0，故①正確
②：由ai•ai+1=

i-λ

i+1

a

2 i

＜0可得λ＞i，從而可得λ為變量，故②錯(cuò)誤
③：設(shè)λ=3.1，a2=

1-λ

2

a1＜0，a3=

2-λ

3

a2＞0，a4=

3-λ

4

a3＜0，
當(dāng)i＞4時(shí)，

i-λ

5

＞0，從而有a₅＜0，a₆＜0，…a_i＜0，故③正確
故答案為：①③

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式判斷數(shù)列中的項(xiàng)滿足的條件，解題的關(guān)鍵是要能夠靈活利用數(shù)列的綜合知識．