Question

（2011•西城區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

cos2x

sin(x+ π 4 )

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f(x)=

4

3

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)分母不為0，得到sin（x+

π

4

）不等于0，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）把函數(shù)解析式中的分母利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，并利用平方差公式分解因式，分子分母約分后可得出化簡(jiǎn)結(jié)果，然后根據(jù)f（x）的值得出cosx-sinx的值，最后把所求的式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，加上1減去1和原式保持相等，再把“1”化為sin²x+cos²x后，利用完全平方公式化為關(guān)于cosx-sinx的式子，把求出的cosx-sinx的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，sin(x+

π

4

)≠0，（2分）
所以x+

π

4

≠kπ(k∈Z)，（3分）
所以x≠kπ-

π

4

 (k∈Z)，（4分）
函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z }；（5分）
（Ⅱ）f(x)=

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

cos2x

sinxcos π 4 +cosxsin π 4

（7分）
=

2 cos2x

sinx+cosx

（8分）
=

2 (cos2x-sin2x)

sinx+cosx

=

2

(cosx-sinx)，（10分）
因?yàn)?span id="xobhsa2" class="MathJye">f(x)=

4

3

，所以cosx-sinx=

2 2

3

．（11分）
所以sin2x=2sinxcosx=1-（1-2sinxcosx）=1-（cosx-sinx）²=1-

8

9

=

1

9

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及特殊角的三角函數(shù)值，第二問利用湊項(xiàng)法把所求的式子化為關(guān)于cosx-sinx的式子是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意“1”的靈活變換．