Question

已知P為△ABC內一點，且3

AP

+4

BP

+5

CP

=0.延長AP交BC于點D，若

AB

=a，

AC

=b，用a、b表示向量

AP

、

AD

．

Answer 1

分析：將

BP

，

CP

利用向量的減法法則用

AP

，

a

，

b

表示，代入已知等式解方程求出

AP

；據(jù)共線向量的充要條件及平面向量基本定理及向量相等，列出方程組求出．

解答：解：∵

BP

=

AP

-

AB

=

AP

-a，

CP

=

AP

-

AC

=

AP

-b，
又3

AP

+4

BP

+5

CP

=0，
∴3

AP

+4(

AP

-a)+5(

AP

-b)=0，
化簡，得

AP

=

1

3

a+

5

12

b．
設

AD

=t

AP

（t∈R），
則

AD

=

1

3

ta+

5

12

tb．①
又設

BD

=k

BC

（k∈R），由

BC

=

AC

-

AB

=b-a，得

BD

=k（b-a）．而

AD

=

AB

+

BD

=a+

BD

，
∴

AD

=a+k（b-a）=（1-k）a+kb．②
由①②，得

1 3 t=1-k 5 12 t=k.

解得t=

4

3

.
代入①，有

AD

=

4

9

a+

5

9

b．

點評：本題考查向量的運算三角形法則；共線向量的充要條件；平面向量的基本定理．