Question

【題目】已知向量，，且函數(shù).若函數(shù)的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為.

（Ⅰ)求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ)若方程在時，有兩個不同實數(shù)根，，求實數(shù)的取值范圍，并求出的值；

（Ⅲ)若函數(shù)在的最大值為2，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ)根據(jù)三角恒等變換公式化簡，根據(jù)周期計算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調(diào)性，計算最值和區(qū)間端點函數(shù)值，從而得出的范圍，根據(jù)對稱性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關(guān)于的二次函數(shù)，討論二次函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)最大值列方程求出的值．

（Ⅰ）∵，，

∴

若函數(shù)的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為，

則函數(shù)的周期，

∴，即，

∴

（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，

當(dāng)時，

∴若方程在有兩個不同實數(shù)根，則.

∴令，，則，，

∴函數(shù)在內(nèi)的對稱軸為，

∵，是方程，的兩個不同根，

∴

（Ⅲ）因為，所以，

令，則.∴

又∵，由得，

∴.

（1）當(dāng)，即時，可知在上為減函數(shù)，

則當(dāng)時，

由，解得：，不合題意，舍去.

（2）當(dāng)，即時，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，，

由，解得，滿足題意.

（3）當(dāng)，即時，知在上為增函數(shù)，

則時，，由得，舍去

綜上，或為所求.