Question

【題目】設(shè),函數(shù).

(1) 若，求曲線在處的切線方程；

(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

(3) 若有兩個(gè)零點(diǎn),求證: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

分析：（1）求出，由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令，可得函數(shù)增區(qū)間，，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）原不等式等價(jià)于 令,則,于是，，利用導(dǎo)數(shù)可證明，從而可得結(jié)果.

詳解：在區(qū)間上,.

（1）當(dāng)時(shí)，則切線方程為，即

（2）若,則,是區(qū)間上的增函數(shù),

若,令得: .

在區(qū)間上, ,函數(shù)是增函數(shù);

在區(qū)間上, ,函數(shù)是減函數(shù);

(3)設(shè)

,

原不等式

令,則,于是.（9分）

設(shè)函數(shù) ,

求導(dǎo)得:

故函數(shù)是上的增函數(shù),

即不等式成立,故所證不等式成立.