Question

【題目】已知命題P：函數(shù)f（x）=log2m（x+1）是增函數(shù)；命題Q：x∈R，x2+mx+1≥0．
（1）寫出命題Q的否命題￢Q；并求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得命題￢Q為真命題；
（2）如果“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

Answer 1

【答案】
（1）解：Q：x0∈R，x02+mx0+1＜0．

若Q為真命題，則△=m2﹣4＞0，解得：m＜﹣2，或m＞2．

故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

（2）解：若函數(shù)f（x）=log2m（x+1）是增函數(shù)，則 2m＞1， ．

又x∈R，x2+mx+1≥0為真命題時，由△=m2﹣4≤0，

求得m的取值范圍為B={m|﹣2≤m≤2}．

由“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，故命題P、Q中有且僅有一個真命題．

當(dāng)P真Q假時，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：

．

當(dāng)P假Q(mào)真時，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：

；

綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍：[﹣2， ]∪（2，+∞）．

【解析】（1）否命題Q，就是把命題Q的條件和結(jié)論都否定，聯(lián)系對應(yīng)二次函數(shù)圖象，由△=m2﹣4＞0，解得m的

取值范圍．（2）命題P和命題Q中，一個為真命題，一個為假命題，分命題P是真命題且命題Q是假命題、命題P是

假命題且命題Q是真命題，兩種情況，計(jì)算可得答案．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法；過定點(diǎn)（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數(shù);0>a>1時在（0，+∞）上是減函數(shù)即可以解答此題．