Question

【題目】用如圖所示的幾何體中，四邊形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1 ， E是AC的中點．
（1）求證：A1E∥平面BB1C1C；
（2）若AC=BC，AB=2BB1 ， 求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點F，連結EF，A1F．

∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，

又A1B1∥AB，∴四邊形A1FBB1是平行四邊形，

∴A1F∥BB1，∵E，F(xiàn)分別AC，AB的中點，∴EF∥BC，

又EF平面A1EF，A1F平面A1EF，EF∩A1F=F，BC平面BB1C1C，BB1平面BB1C1C，BC∩BB1=B，

∴平面A1EF∥平面BB1C1C．

又A1E平面A1EF，∴A1E∥平面BB1C1C

（2）解：（2）連結CF，則CF⊥AB，

以F為原點，F(xiàn)C為x軸，F(xiàn)B為y軸，F(xiàn)A1為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（ ，0，0），

∴E（ ，﹣ ，0）， =（0，﹣1，1）， =（ ，﹣ ，0），

設平面A1BE的一個法向量為 =（x，y，z），

，取y=1，得 =（ ，1，1），

平面ABA1的法向量 =（1，0，0），設二面角A﹣BA1﹣E的平面角為θ，

，則cosθ= ．

∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值為 ，

【解析】（1）取AB的中點F，連結EF，A1F．則可通過證明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C；（2）連結CF，則CF⊥AB，以F為原點，F(xiàn)C為x軸，F(xiàn)B為y軸，F(xiàn)A1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．