Question

【題目】已知橢圓E：（）的焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓E的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線(xiàn)與x軸交于A點(diǎn)，直線(xiàn)與x軸交于B點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)直線(xiàn)與圓相切列出對(duì)應(yīng)方程，再結(jié)合橢圓的基本知識(shí)計(jì)算求解即可；

（2）先討論l與y軸重合時(shí)的情況，再在l與y軸不重合的情況下，設(shè)，，l的方程為，將之與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理.解法一：利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)證明，從而證明出；解法二：設(shè)，，：，：，然后根據(jù)方程求出，再結(jié)合韋達(dá)定理證明，從而證明出.

（1）由已知得，，因此，

所以橢圓E的方程為.

（2）解法一：

①當(dāng)l與y軸重合時(shí)，由題意知.

②當(dāng)l與y軸不重合時(shí)，設(shè)l的方程為，，，則，，

直線(xiàn)，的斜率之和為，

由，得，

將代入，得，

，

所以，，

所以，

從而，故，的傾斜角互補(bǔ)，

所以，因此.

綜上所述，.

解法二：

①當(dāng)l與y軸重合時(shí)，由題意知.

②當(dāng)l與y軸不重合時(shí)，設(shè)l的方程為，，，則，，

將代入得.

，

所以，.

設(shè)：，：，，

易知，，

在中，令得，

在中，令得，

于是，

由，得

，

由于，因此，

所以點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，

而點(diǎn)P在y軸上，因此.

綜上所述，.