Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域，再求其導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得解.

（2）令，因?yàn)?/span>，先假設(shè)在上遞增，則其導(dǎo)數(shù)， 求出；當(dāng)時(shí)，取，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，，不符合題意，舍去．

解：（1）的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)，得時(shí)，

令，得，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2）令，

成立的一個(gè)充分條件是，

即，

設(shè)，

，

當(dāng)時(shí)，，所以

故最大值為，

所以，

當(dāng)時(shí)，取，

在區(qū)間上，且，

所以且，

所以，

所以，

所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，，不符合題意，舍去．

綜上：．