Question

【題目】如圖，一顆棋子從三棱柱的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為，剛開始時(shí)，棋子在上底面點(diǎn)處，若移了次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為.

（1）求，的值：

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1），.（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可知在上底面點(diǎn)處，移了次可落在的任意一點(diǎn)，可得；分類討論當(dāng)?shù)谝淮温湓?/span>或落在處的概率，即可得.

（2）根據(jù)移了次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為，可知落在下底面頂點(diǎn)的概率為，進(jìn)而可得與的遞推公式，利用構(gòu)造數(shù)列法可得的通項(xiàng)公式；利用數(shù)學(xué)歸納法，即可證明成立.

（1）從三棱柱的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為，棋子在上底面點(diǎn)處，移了次可落在的任意一點(diǎn)，

所以，

若移次，則再移到上底面的概率為，移到上底面的概率為，

所以.

（2）證明：因?yàn)橐屏?/span>次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為，故落在下底面頂點(diǎn)的概率為.

于是移了次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為.

從而.

所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為.

所以.

即.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，左式，右式，因?yàn)?/span>，所以不等式成立.

當(dāng)時(shí)，左式，右式，因?yàn)?/span>，所以不等式成立.

②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即.

則時(shí)，左式.

要證，只要證.

只要證.

只要證.

只要證.

因?yàn)?/span>，所以，

所以.即時(shí)，不等式也成立.

由①②可知，不等式對任意的都成立.

不等式得證.