Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，其中為實數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）用定義證明在上是減函數(shù)；

（3）若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由定義域為，且利用奇函數(shù)的性質(zhì)，再找一組互為相反數(shù)代入得到另外一個方程，解出的值；（2）用定義設(shè)，然后計算的正負(fù)來判斷函數(shù)單調(diào)性；（3）若，根據(jù)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，進(jìn)行移項變形，列出和的不等式，進(jìn)而求得實數(shù)的取值范圍。

（1）∵是上的奇函數(shù)，所以.故，可得.

又，解得.

經(jīng)檢驗，當(dāng)且時，，滿足是上的奇函數(shù).

（2）由（1）得.任取實數(shù)，且，

則.

∵，∴，且∴，即，

∴函數(shù)在上是減函數(shù).

（3）由（1）和（2）知，不等式恒成立，

即恒成立，

故對任意的恒成立，

即對任意的恒成立.

令，易知當(dāng)時，取得最大值8，∴

故實數(shù)的取值范圍是