Question

【題目】橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率為，已知也是拋物線的焦點(diǎn)， 到準(zhǔn)線的距離為

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，交于另一點(diǎn).

①證明：三點(diǎn)共線

②求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）證明見(jiàn)詳解（3）

【解析】

（1）分析條件可知，，，再結(jié)合橢圓關(guān)系式即可求解，又，也可求解

（2）可采用點(diǎn)差法，設(shè)，，則，設(shè)直線，利用（利用點(diǎn)差法證明）可求，再表示出，只需證明即可

（3）利用，代入已得數(shù)據(jù)，并對(duì)換元，利用“對(duì)勾”函數(shù)可得最值

（1）由題可知：，，又橢圓有，聯(lián)立求解可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

又，故拋物線的方程為：；

（2）

①設(shè)，，則，，，，，，

設(shè)，則，設(shè)直線，

則，，

在橢圓上，，聯(lián)立求解變形可得，

即，則，

，，故三點(diǎn)共線；

②

設(shè)直線的方程為：，

與聯(lián)立消去，

得，

，

，

又

令，則，

利用“對(duì)勾”函數(shù)在，的單調(diào)性可知，

時(shí)取等號(hào)），

（此時(shí)，

故面積的最大值為．