Question

【題目】已知定點(diǎn)，，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線。

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在定點(diǎn)，見解析

【解析】

（1）設(shè)動點(diǎn)，則，利用，求出曲線的方程．

（2）由已知直線過點(diǎn)，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，

消去得，設(shè)，，，利用韋達(dá)定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程，推出結(jié)果．

解：（1）設(shè)動點(diǎn)，則，

，

，即，

化簡得：。

由已知，故曲線的方程為。

（2）由已知直線過點(diǎn)，設(shè)的方程為，

則聯(lián)立方程組，消去得，

設(shè)，，則

又直線與斜率分別為，

，

則。

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，。

所以存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值。