Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓截直線(xiàn)所得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓截直線(xiàn)所得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，可得橢圓過(guò)點(diǎn) ，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；

（Ⅱ）分類(lèi)討論：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，四邊形的面積為 ； 當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，由 得 ，代入曲線(xiàn)C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù) 寫(xiě)出面積的表達(dá)式整理即可得到定值。

(Ⅰ)由解得

得橢圓的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為或，

此時(shí)四邊形的面積為．

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程是，聯(lián)立橢圓方程

，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是

由得

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線(xiàn)上，所以有

整理得

由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．