Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，右焦點到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題可知值，由右焦點到直線的距離為3表示，和 構(gòu)建方程組，求得，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可表示點M的坐標(biāo)，由，垂直，則將M坐標(biāo)中的k換成，即可表示N點坐標(biāo)，再利用兩點坐標(biāo)分別表示與，觀察即可證明.

（1）由題意知，，，，

解得，，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）顯然直線，的斜率存在．

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

解得，，

所以，．

由，垂直，可得直線的方程為．

用替換前式中的k，可得，．

則，

，

所以，故直線MN恒過定點．