Question

（2012•保定一模）已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²．
（1）求函數(shù)g（x）在R上的解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=x[g（x）-λf（x）+

2

3

]在〔0，+∞）上是增函數(shù)，且λ≤0，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，當(dāng)x∈（-∞，0]g（x）=2x，而當(dāng)x≥0，則-x≤0，g（x）=-g（-x）=2x，，從而可求g（x）
（2）由題意可得，h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

分類 討論：①λ=0時(shí)，②當(dāng)λ＜0時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號可判斷λ的取值范圍

解答：解：（1）∵當(dāng)x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²，f（x）=x²-2x，
∴當(dāng)x∈（-∞，0]，g（x）=2x  （2分）
設(shè)x≥0，則-x≤0
∴g（-x）=-2x
∵g（x）是R上的奇函數(shù)
∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴g（x）=2x  （5分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=x[g（x）-λf（x）+

2

3

]
∴h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

  （6分）
①λ=0時(shí)，h′(x)=4x+

2

3

≥

2

3

，所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，滿足題意  （7分）
②當(dāng)λ＜0時(shí)，h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

的對稱軸x=

2λ+2

3λ

，在y軸上的截距為

2

3

所以（i）若

λ+1

λ

≥0即-1＜λ＜0時(shí)，函數(shù)h（x）在〔0，+∞）上是增函數(shù)，（9分）
（ii）若

λ+1

λ

≥0即λ≤-1時(shí)，

-8λ-16(λ+1)2

-12λ

=

2(2λ2+5λ+2)

3λ

≥0
即2λ²+5λ+2≤0
∴-2≤λ≤-1，
綜上可得，-2≤λ≤0時(shí)，結(jié)論成立   （12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．