Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，，平面PAB，，E為線段PB的中點

（1）證明：平面PDC；

（2）求直線DE與平面PDC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）利用平行四邊形，得到線線平行，從而證明線面平行。

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，利用法向量求解。

證明：（1）如圖所示，取PC的中點F，連接DF，EF，因為E為線段PB的中點，

∴，且，

∵，∴

∴四邊形EFDA為平行四邊形

∴，又平面PDC，平面PDC，

∴平面PDC

（2）（方法一）∵，平面PAB，平面PAB，

由題意知為等邊三角形，

以A為坐標原點，如圖建系

，，，，，，

，，

設(shè)平面PDC的法向量為，則

令，則

設(shè)直線DE與平面PDC所成角為，

即直線DE與平面PDC所成角的正弦值為

（方法二）∵為等邊三角形，E為線段PB的中點，∴

∵平面PAB，∴，，平面PBC，

∵，平面PBC，

平面PDC，平面平面PBC

過E點作于H，連接DH，則平面PDC，

∴即為直線DE與平面PDC所成角，易得，，

在中，

∴直線DE與平面PDC所成角的正弦值為