Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點，是平面內(nèi)一動點，直線、斜率之積為.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；
(Ⅱ)過點作直線與軌跡交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

(Ⅰ)設(shè)點的坐標(biāo)為，依題意，有
 .               ………………… 3分
化簡并整理，得
.
∴動點的軌跡的方程是.          ………………… 5分
(Ⅱ)解法一：依題意，直線過點且斜率不為零，故可設(shè)其方程為, ………6分
由方程組
  消去，并整理得
       
設(shè),,則
  ，……………………………………………………… 8分
∴
∴,
,          …………………………………………… 10分
(1)當(dāng)時，；          …………………………………………… 11分
(2)當(dāng)時,


.
.
且 .               ………………………………………… 13分
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分
解法二：依題意，直線過點且斜率不為零.
(1)    當(dāng)直線與軸垂直時，點的坐標(biāo)為，此時，；  …………6分
(2)    當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為,  …………7分
由方程組
  消去，并整理得
       
設(shè),,則
  ，……………………………………………………… 8分
∴
,
,             ………………… 10分

.
.
且 .               ………………………………………… 13分
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分