Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ，且．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)四棱錐的體積為，且二面角為鈍角時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由正三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面；（Ⅱ）根據(jù)四棱錐的體積為，可得，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸， 軸．在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，算出直線的方向向量與平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角的余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，

∵為正三角形，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴四邊形為矩形，∴，

在中， ， ， ，∴，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）∵， ， ，

平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面，

∴過(guò)點(diǎn)作平面，垂足一定落在平面與平面的交線上．

∵四棱錐的體積為，

∴ ，∴，

∵，∴．

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸， 軸．

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意可知， ， ， ， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得，

令，則，∴，

，設(shè)直線與平面所成的角為，

則 ．

則直線與平面所成角的正弦值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用線面垂直、面面垂直的判定定理以及空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.