Question

【題目】已知直角梯形的下底與等腰直角三角形的斜邊重合，且（如圖（1）所示），將此圖形沿折疊成直二面角，連接，，得到四棱錐（如圖（2）所示）.

（1）線段上是否存在點，使平面？若存在，求出；若不存在，說明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在點，（2）

【解析】

（1）假設存在滿足題意的點，根據線面平行的性質定理可知，由平行線分線段成比例可求得，則假設成立；

（2）取中點，根據垂直關系，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結果.

（1）假設在線段上存在點，使得平面，

連接，交于點，連接，

若平面，平面平面，平面，，

.

，，，

在線段上存在點，使得平面，此時.

（2）取中點，連接，

，，四邊形為平行四邊形，，

又，.

，為中點，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面.

以為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：

為等腰直角三角形，，

設，則，，，，，，，

，，.

設平面的一個法向量，

則，令，則，，.

平面，是平面的一個法向量，

，

即平面與平面的夾角的余弦值為.