Question

（1）計(jì)算：C

2013 2014

+A

3 5

；
（2）觀察下面一組組合數(shù)等式：C

1 n

=nC

0 n-1

；2C

2 n

=nC

1 n-1

；3C

3 n

=nC

2 n-1

；…由以上規(guī)律，請寫出第k（k∈N^*）個等式并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,組合數(shù)公式的推導(dǎo)

專題：排列組合

分析：（1）由C

2013 2014

=C

1 2014

，A

3 5

=5×4×3，展開可得答案；
（2）由已知中的式子，分析出第k（k∈N^*）個等式為：kC

k n

=nC

k-1 n-1

，k∈N^*，進(jìn)而根據(jù)組合數(shù)公式證明可得結(jié)論．

解答： 解：（1）原式=C

1 2014

+A

3 5

=2014+5×4×3=2014+60=2074…5分
（2）由C

1 n

=nC

0 n-1

；
2C

2 n

=nC

1 n-1

；
3C

3 n

=nC

2 n-1

；
…
可得第k（k∈N^*）個等式為：
kC

k n

=nC

k-1 n-1

，k∈N^*，
證明如下：kC

k n

=

kn!

k!(n-k)!

=

n(n-1)!

(k-1)!((n-1)-(k-1))!

=nC

k-1 n-1

．．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是歸納推理，組合數(shù)公式，熟練掌握排列數(shù)公式和組合公式，是解答的關(guān)鍵．