Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點(diǎn)，使得

【解析】

（1）先求出拋物線的焦點(diǎn)，從而得到橢圓的，再結(jié)合離心率以及即可求出的值，從而求出橢圓方程.

（2）先假設(shè)存在，然后設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用與來表示，要使得其為定值，則與無關(guān)，即可求出的值，并求出的值，再驗(yàn)證當(dāng)直線斜率為0也符合即可.

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴，∴，

又因?yàn)闄E圓的離心率為，即，∴，，則，

因此，橢圓的方程為；

（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值．

當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)、，由韋達(dá)定理可得，，

、，

∴

，

要使上式為定值，即與無關(guān)，應(yīng)有，解得，此時(shí)，.

當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，不妨設(shè)、，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．

綜上所述，存在點(diǎn)，使得．