Question

如圖所示，銳角α和鈍角β的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn)，角α的終邊與射線y=

3

3

x（x≥0）重合．
（1）若點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

1

3

，求sin（β-α）；
（2）若

OA

•

OB

=

1

3

，求

AB

在

AO

方向上的投影．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出相應(yīng)的三角函數(shù)值，利用兩角和與差的正弦公式，即可求出sin（β-α）的值；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合向量的投影定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由已知得tanα=

3

3

，
∵α是銳角，
∴α=

π

6

，sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，
∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

1

3

，
則sinβ=

1

3

，cosβ=-

2 2

3

，
則sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=

3 -2 2

6

；
（2）

AB

在

AO

方向上的投影為|

AB

|cos∠OAB=

AB•AO

| AO |

=（

OB

-

OA

）•

AO

=-

OA

•

OB

+

AB2

=-

1

3

+1=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及向量的投影的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．