Question

【題目】已知兩曲線f（x）= x2+ax與g（x）=2a2lnx+b有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處有相同的切線，則a∈（0，+∞）時，實(shí)數(shù)b的最大值是（ ）
A.e
B.2e
C.e
D. e

Answer 1

【答案】A
【解析】解：f（x）= x2+ax與g（x）=2a2lnx+b， 設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x0 ， y0）處的切線相同、
f′（x）=x+a，g′（x）= ，
由題意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），
即 x02+ax0=2a2lnx0+b，x0+a= ，
得x0=a或x0=﹣2a（舍去），
即有b= a2+a2﹣2a2lna= a2﹣2a2lna．
令h（t）= t2﹣2t2lnt（t＞0），
則h′（t）=t（1﹣4lnt）、
于是當(dāng)t（1﹣4lnt）＞0，即0＜t＜e 時，h′（t）＞0；
當(dāng)t（1﹣4lnt）＜0，即t＞e 時，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e ）為增函數(shù)，在（e ，+∞）為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e ）= e ﹣2e =e ，
故b的最大值為e ．
故選：A．