Question

如圖所示,在四面體OABC中,OA、OB、OC兩兩垂直,且OB=OC=3,OA=4.給出以下命題:

①存在點D(O點除外),使得四面體DABC有三個面是直角三角形;
②存在點D,使得點O在四面體DABC外接球的球面上;
③存在唯一的點D使得四面體DABC是正棱錐;
④存在無數個點D,使得AD與BC垂直且相等.
其中正確命題的序號是　　　　(把你認為正確命題的序號填上). 

Answer 1

①②④

①過O作平面ABC的垂線(O′為垂足),延長至D使O′D=OO′,連接AD,BD,CD,則四面體DABC有三個面是直角三角形,故①正確;
②在以O、A、B、C確定的球上,顯然存在點D滿足條件,故②正確;
③因為AB=AC=5,BC=3,所以當點D滿足BC=BD=CD=3且AD=5,四面體是以△BCD為底面的正棱錐,這樣的D點有兩個,所以③不正確.
④取BC的中點O₁,在平面AOO₁內以A為圓心,以BC為半徑作圓,圓周上任一點滿足條件,所以這樣的點D有無數個,故④正確.