Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2．

(Ⅰ)求異面直線EF與BC所成角的大小；

(Ⅱ)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）30°；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）異面直線EF與BC所成角的大小，即AD與EF所成角的大小，則在面ADEF內(nèi)求AD與EF所成角的大小即可；（Ⅱ）法一：根據(jù)條件，取AF的中點G，先證明DG垂直平面ABF，然后過G向交線BF作垂線，找出二面角的平面角，根據(jù)平面角的余弦值大小，列關系式求AB的長；法二：以F為原點，AF、FQ所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系，列出各點坐標，分別找出面ABF和面BDF的法向量，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及平面角的余弦值求AB的長.

試題解析：(Ⅰ) 延長AD，F(xiàn)E交于Q．

因為ABCD是矩形，所以BC∥AD，

所以∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．

在梯形ADEF中，因為DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1

得AQF＝30°． 7分

(Ⅱ)方法一：

設AB＝x．取AF的中點G．由題意得DG⊥AF．

因為平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，

所以AB⊥DG．

所以DG⊥平面ABF．

過G作GH⊥BF，垂足為H，連結DH，則DH⊥BF，

所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，

所以GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．

因為cos∠DHG＝＝，得x＝，

所以AB＝． 15分

方法二：設AB＝x．

以F為原點，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系Fxyz．則

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因為EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

設＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．

因為cos<，>＝＝，得x＝，

所以AB＝． 15分

考點：1、異面直線所成的角；2、二面角.