Question

下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=

2

1+i

的四個(gè)命題
P₁：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為1+i
P₂：復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1
P₃：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量垂直
P₄：|z|=

2

其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，檢驗(yàn)所給的各個(gè)命題是否正確，從而得出結(jié)論．

解答：解：由于復(fù)數(shù)z=

2

1+i

=

2(1-i)

(1+i)(1-i)

=

2-2i

2

=1-i，
故它的共軛復(fù)數(shù)為1-i，它的實(shí)部為1．
再根據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為（1，-1），復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為（1，1），
而且（1，-1）•（1，1）=1-1=0，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量垂直．
再由復(fù)數(shù)的模的定義可得|z|=

2

，
故所給的4個(gè)命題全部正確，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，命題的真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．