Question

已知橢圓的焦點(diǎn)F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0），過(guò)P（0，）作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長(zhǎng)為，過(guò)F₁作直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求△PAB的面積；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t使，若存在，求t的值和直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），
由題意點(diǎn)（，）在橢圓上，a²=b²+1
∴，∴b²=1，a²=b²+1=2
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由題意，A是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，∴A（0，-1）
∵F₁（1，0），∴過(guò)F₁，A作直線l的方程為y=x-1，
代入橢圓方程可得3x²-4x=0
∴x=0或
∴A（0，-1），B（，），
∵P（0，）
∴△PAB的面積為=1
（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得A（1，），B（1，-），
所以，，
由得t=2，直線l的方程為x=1．
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程為y=k（x-1）
代入橢圓方程可得（+k²）x²-2k²x+k²-1=0
∴x₁+x₂=
所以，，
由得x₁+x₂=t，
因?yàn)閥₁+y₂=k（x₁+x₂-2），所以
又=t，∴k=-，t=
此時(shí)，直線l的方程為y=-（x-1）
分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），根據(jù)過(guò)P（0，）作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長(zhǎng)為，可得點(diǎn)（，）在橢圓上，，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）確定過(guò)F₁，A作直線l的方程代入橢圓方程，求出A，B的坐標(biāo)，從而可求△PAB的面積；
（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得A，B的坐標(biāo)，從而可得向量PA，PB，PF₁的坐標(biāo)，利用，即可求得直線l的方程；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，確定向量PA，PB，PF₁的坐標(biāo)，利用，即可求得直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．