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          【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.
          (Ⅰ)證明:AC=AB1;
          (Ⅱ)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.

          【答案】解:(Ⅰ)連結BC1,交B1C于點O,連結AO,

          ∵側面BB1C1C為菱形,

          ∴BC1⊥B1C,且O為BC1和B1C的中點,

          又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,

          ∵AO平面ABO,∴B1C⊥AO,

          又B10=CO,∴AC=AB1,

          (Ⅱ)∵AC⊥AB1,且O為B1C的中點,∴AO=CO,

          又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,

          ∴OA,OB,OB1兩兩垂直,

          以O為坐標原點, 的方向為x軸的正方向,| |為單位長度,

          的方向為y軸的正方向, 的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系,

          ∵∠CBB1=60°,∴△CBB1為正三角形,又AB=BC,

          ∴A(0,0, ),B(1,0,0,),B1(0, ,0),C(0, ,0)

          =(0, , ), = =(1,0, ), = =(﹣1, ,0),

          設向量 =(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,

          ,可取 =(1, , ),

          同理可得平面A1B1C1的一個法向量 =(1,﹣ ),

          ∴cos< , >= = ,

          ∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為


          【解析】(Ⅰ)連結BC1,交B1C于點O,連結AO,可證B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,進而可得AC=AB1;(Ⅱ)以O為坐標原點, 的方向為x軸的正方向,| |為單位長度, 的方向為y軸的正方向, 的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系,分別可得兩平面的法向量,可得所求余弦值.

          練習冊系列答案
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