Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的一點(diǎn).

（Ⅰ）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，證明：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BE⊥DC;（2）求出平面EAB的法向量，平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-P的余弦值．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>底面，底面，底面，

所以：，，又，

所以：，，兩兩互相垂直，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

可得，，，，

因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，得，

故，，

，

所以；

（Ⅱ），，，，

不妨設(shè)，，

故

由，得，

解得，

即，

設(shè)為平面的法向量，

則，即，

不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量，

易知平面的一個(gè)法向量，

則，

二面角是銳角，所以余弦值為.