Question

【題目】直三棱柱中， ， ， ， ， .

（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的大小為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）直接按照求直線與平面所成角的步驟來求即可；直線與平面α所成角可先求出平面α的法向量n與直線的方向向量，則；（2）根據求二面角的步驟，列出關于實數的方程來求；求出二面角的大小，可先求出兩個半平面與的法向量，若二面角所成的角為銳角，則；若二面角所成的角鈍角，則.

試題解析：

解：分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則， ， ， ， ，

（1）當時， 為的中點，所以， ，， ，設平面的法向量為

則，所以取，又，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）， ， ， ，

設平面的法向量為，則，

所以取.

又平面的一個法向量為，由題意得，

所以，解得或（不合題意，舍去），

所以實數的值為.