Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論極值點的個數(shù)；

（2）若a，b分別為的最大零點和最小零點，當(dāng)時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）兩個（2）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由，確定單調(diào)性后再得極值點個數(shù)．

（2）先證明時，函數(shù)沒有兩個零點，從而，設(shè)，且是兩個極值點，得，，計算，證明，可縮小范圍，，得，從而證得命題成立．

（1）

則，，

，單調(diào)遞減，

，單調(diào)遞增，

，

當(dāng)時，，，使得，

，時單調(diào)遞增，

時單調(diào)遞減，

有兩個極值點.

綜上：時，有兩個極值點：

（2）證明：由（1）可知：當(dāng)時，

恒成立，且的解為有限個，

所以在R上單調(diào)遞增，又因為

所以有且只有一個零點，

所以：若函數(shù)有不止一個零點，則

當(dāng)時，由（1）可知：，，

，時單調(diào)遞增，

時單調(diào)遞減，

因為，所以，

且，，當(dāng)時，

令

在上單調(diào)遞增，又因為為連續(xù)函數(shù)，

，

在上單調(diào)遞增，又因為為連續(xù)函數(shù)，

所以：，即，

又因為，所以，，

，

所以.